一、Laplace变换
如图所示一个低通滤波器，列基尔霍夫方程，得到线性微分方程：
正是因为电感电容的存在，使得电路方程出现微分、积分项。而Laplace变换将微分方程转化为线性代数方程，成为快速求解微分方程的有力工具。
但是列出电路的微分方程之后再进行Laplace变换，求解之后再进行反变换仍然很复杂，聪明的电子工程师们便想到直接将电路中的电阻器 ®、 电容器 © 和电感元件 (L)变换到s域。
于是这个电路可以看作一个分压器
下面便引出系统的传输函数。
二、传递函数
对于最简单的连续时间输入信号 x ( t ) , 和输出信号 y ( t )来说传递函数 H ( s ) 所反映的就是零状态条件下输入信号的拉普拉斯变换
与输出信号的拉普拉斯变换 
之间的线性映射关系：
与输出信号的拉普拉斯变换 之间的线性映射关系：
或者
而当系统为封闭回路的负反馈系统时：
由上图可得：
三、零极点
传递函数可以写成如下更加普遍的形式：
所有让分母 D ( s ) 为0等点 s z为系统的极点；
所有让分子 N ( s ) 为0等点 s p为系统的零点；
考虑一个由一个零点和两个极点组成的系统，在极坐标上表示为下图：
从上图中可以看出傅立叶变换和拉普拉斯变换的关系：
傅立叶变换为拉普拉斯变换在s平面虚轴 j ω j\omegajω 上的求值。
由此，引出波特图。
四、波特图
从上图中可以看到，系统的传递函数 H ( J ω ) H(J\omega)H(Jω) 其实就是将复平面中极点零点到虚轴上某一点的向量相乘除：
表示为幅度（取对数）和相位：
其中 α 1 , α 2 , α 3为图中向量的角度，由此便可以画出波特图。
下面以一个低通RC滤波器电路举例：
画出波特图如下：
下面介绍如何得到上图。
增益图
在角频率小于ω c时，因ω /ω c项较小，相对 1 而言可以忽略，因此其增益值为定值1，在增益图上是一条位在 0dB 的水平线
在角频率大于ω c 时，因ω /ω c项较大，相对而言 1 可以忽略，因此式子简化为 $-20 \log {\omega \over {\omega_\mathrm{c}}} $ , 是斜率为-20dB/十倍频的斜线
在角频率等于ω c 时，
，因此该点为 -3dB 转折点
相位图
其中
分别是输入角频率及截止角频率。 当输入角频率远小于截止角频率时，ω/ ω c 比例的数值很小，因此相位角接近零度。
分别是输入角频率及截止角频率。 当输入角频率远小于截止角频率时，ω/ ω c 比例的数值很小，因此相位角接近零度。当频率增加，相位角的绝对值也随之增加。在时 ω = ω c 时 为-45度。
当输入角频率远大于截止角频率时，相位角会趋近-90度。
关于波特图一点说明
注意 ：通常我们说波特图中遇到一个极点幅度开始以20dB／十倍频的斜率下降，在极点处相移为-45度；零点则是幅度上升，相移45度。
有人会疑问零点、极点不应该使得传递函数为零或者无穷大吗？
其实从s平面那幅图可以看出，其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点。只有当零点或者极点真的出现在虚轴 j ω j\omegajω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。
五、稳定性
巴克豪森判据：
对于一个负反馈系统：
如果 β H ( s ) = − 1 \beta H(s) = -1βH(s)=−1 则增益为无穷，电路产生振荡，此条件可表达为：
上式可以理解为，输入信号经过正向通路以及反馈回路一圈之后相移360度（环路增益的180度以及负反馈叠加点的180度），使得负反馈变成正反馈。此时如果环路增益的幅度大于1，则在输入信号上不断叠加一个放大了的信号，一个发散的数列不断叠加必然是无界的。
因此，避免振荡的放法就是在环路增益相移180度时，保证其幅度小于1。（收敛序列求和是有界的）
上图中定义了“增益交点GX“、“相位交点PX“、“相位裕度PM“等概念。（注意上图为环路增益的波特图）
奈奎斯特判据
如果将波特图绘制到极坐标系中，可以得到奈奎斯特图：
图中红色的线为传递函数曲线，其与单位圆的交点为GX点，与实轴的另一交点为PX点，并且能直观地看出相位裕度，增益裕度。
另外如果-1这个点不被传递函数曲线包围，则系统是稳定的。
六、反馈、相位裕度、稳定性的关系
相位裕度
此处参照sansen书中方法
定义开环增益
闭环增益
所以
图中 A O 曲线与 A c 曲线差就是环路增益，因此两条曲线（实线）交点对应的频率，也即A O / A c = 1 ，就是环路增益降到单位增益的频率。这个点就是增益交点，可以从这个点看相位裕度。
（思考的切入点：让两条曲线相交，其实在数学上是让两个函数相等）
GBW
上图定义出增益带宽积，在闭环增益（Y/X）图中，为主极点的下降曲线与横轴的交点出的频率（单位增益）。
得出
注意：
GBW点其实是约等于的结果，但在对数图中可以看作不变。
另外，对于多极点系统，还是看第一个主极点延长线与实轴的交点，即
。
反馈系数改变，闭环增益相位曲线
是会改变的；而环路增益相位曲线 
不变。
不变。sansen书中看闭环增益转折点求PM，其实它对应的是开环增益的相位图，如下图，所以不要被迷惑。之所以这样，是因为双极点系统，总相移肯定是180度。
而180度相移点是第二个极点再往右，若f2出现在GBW点右侧，则系统相对比较稳定。
相位裕度、极点位置、尖峰相互关系
环路增益越大（图中两条曲线相差越宽），PM越小。当PM很小的时候，闭环增益曲线就会产生尖峰。
开环增益
闭环增益
因为
, 所以
其中 ζ 为阻尼因子，ω n 为谐振频率。
PM的求解需要解释一下：
因为
， 而对于双极点系统，有
而对于 ω = G X 这个点，因为 G X > > ω 1
所以第一级已经达到90度相移。另外
所以
可得
结论
由信号系统知识可知：
ζ > 1， 二阶系统为两个实数极点，其实是两个一阶系统相乘；对应情况为第二个极点 ω 2非常远（比如3GBW处，此时相位裕度60度～70度）；
0 < ζ <1， 两个共轭极点，为一个谐振系统；在闭环传输函数转折点出现尖峰。
第二个极点越近（ω 2越小），相位裕度越小，ζ 越小，尖峰越高，越不稳定！
有激励的输入响应
如图，输入信号为
电路的传递函数为
所以输出信号(s域)为
其中
所以输出信号时域为
其中
上式中，第一项为稳态响应，第二项是一个随时间衰减的量。这就解释了为什么我们要求系统的极点要在s平面的左半平面，这样系统才不会发散。
更新日志
2017年2月11日
来自eetop网友的两个问题补充。
问题原文：
楼主的文章仔细看过，写的很好，特来学习，有2个问题向楼主请教下:
其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点，这个很难理解
只有当零点或者极点真的出现在虚轴 jω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。比如一对虚轴上的共轭极点，计算确实使输出无穷大，但在时域上，对应的却是一个固定幅度的正弦波，并没有振荡啊，这怎么理解呢？
问题解释：
问题一我觉得是因为术语的定义给人们带来了误解。
我们在信号系统还有控制理论中学过的零极点，就是系统拉普拉斯变换后传输函数的分子分母解出来的根，这个根（零点极点）可以是整个s平面上任意一个点。但是很多书中讲传输函数，波特图时候并没有把这个零点，极点的概念讲清楚。
其实我们说系统遇到一个极点，波特图开始一个20dB／10倍频的下降，很多人下意识地认为波特图横坐标对应的那个频率值就是这个极点，这是错误的，这里应该是有一个s平面到bode图的映射的。
问题二是正弦函数拉普拉斯变化引入的数学问题，正弦函数傅立叶变换本来就是两个冲击函数，反过来虚轴上两个共轭极点的逆变换是稳态的正弦波也就不足为奇。
这个可以参考知乎上这个解答如何理解正弦函数的傅立叶变换？
而且两个共轭极点构成一个二阶系统，二阶系统与一阶系统的分析方法有所不同。更高阶的系统最低能分解为多个一阶与二阶系统来分析。
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